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Lorenz-Attraktor und Lorenz-Computer

Das sogenannte Lorenz-System 

 

x = σ(y−x)
y = x(ρ−z)−y
z = xy−βz
 

mit Parametern σ, ρ, und β, benannt nach dem amerikanischen Mathematiker und Metereologen Edward N. Lorenz (1917-2008), der es erstmals 1963 beschrieb, modelliert atmosphärische Konvektion. Es zeichnet sich insbesondere durch chaotische Lösungen aus. Der seltsame (auch: chaotische) Attraktor dieses Systems wird als Lorenz-Attraktor bezeichnet und ähnelt in seiner Form einem Schmetterling. 

Der Lorenz-Computer ist ein Analogcomputer, der das Lorenz-System simuliert. Dabei kommt eine relativ einfache Schaltung zum Einsatz, die im Wesentlichen aus zwei Analogmultiplizierern und drei Operationsverstärkern besteht. Der Zusammenhang zum Lorenz-System ist hier direkt erkennbar: Die Analogmultiplizierer realisieren die beiden nichtlinearen Teile (xz und xy), während die Operationsverstärker die Additionen und Integrationen durchführen. 
Potentiometer ermöglichen außerdem die stetige Variation der Parameter σ,ρ und β sowie der Anfangswerte x0,y0 und z0. An einem Oszilloskop können die drei Ausgangssignale des Schaltkreises visualisiert und zweidimensional dargestellt werden, sodass die typische Schmetterlingsform erkennbar wird. 
Als digitale Rechner in ihrer Rechenleistung noch nicht ausreichten, um aufwändige Differentialgleichungssysteme zu analysieren, kamen häufig elektronische Analogrechner wie dieser zum Einsatz, die das System direkt simulierten.

 

Überblick:

 

 

Links:

 

Weiterführende Literatur:

  • Smale, S., Hirsch, M.W. und Devaney, R.L.  Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Elsevier Science, 2003 
  • Ovsyannikov, I.I. und Turaev, D.V. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model. Nonlinearity, Volume 30, Number 1, 2016 
  • Tucker, W. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. Foundations of Computational Mathematics, Volume 2, Number 1, 2002
  • Lorenz, E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences. Volume 20, 1963
  • Lorenz, E.N. The Essence of Chaos. University of Washington Press, pp. 14-15, 1993

 

erstellt: Jichen Yang, 2018 und Nick Heilenkötter, 2019

Aktualisiert von: Katie Lorenz