Modulräume sind reichhaltige geometrische Objekte, die in der modernen Mathematik von größter Bedeutung sind: sie treten in der algebraischen Geometrie, der Differentialgeometrie, der Zahlentheorie und der mathematischen Physik auf und durch sie entstehen tiefe Verbindungen zwischen diesen Gebieten. Ich werde diese Idee anhand eines konkreten Beispiels veranschaulichen, nämlich der Entwicklung der Modultheorie von Vektorbündeln über Riemannschen Flächen, von ihrem Ursprung in der klassischen Funktionentheorie über ihre Neuinterpretation in der modernen Sprache der Mathematik bis hin zu ihrem Wiederaufleben in der modernen Mathematischen Physik. Abschließend werde ich eine kurze Beschreibung der komplex-analytischen Probleme geben, auf die sich meine eigene Forschung konzentriert.